Application contractante
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En mathématiques et plus particulièrement en analyse, une application contractantecite-ref-b-1-0[1]cite-ref-2[2], ou contractioncite-ref-yw-3-0[3], est une application qui « rapproche les images » ou, plus précisément, une application k-lipschitzienne avec k < 1. Le théorème de point fixe le plus simple et le plus utilisé concerne les applications contractantes.
Contents
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Définition et exemples
Une application f d'un espace métrique (E, d) dans lui-même est dite k-contractante si 0 ≤ k < 1 et si, pour tout couple de points x et y de E, d(f(x), f(y)) ≤ kd(x, y). Elle est dite contractante si elle est k-contractante pour une certaine constante k.
Un endomorphisme d'espace vectoriel normé dont la norme est strictement inférieure à 1 (ou une application affine associée à un tel endomorphisme) est une application contractante. L'exemple le plus simple est celui d'une homothétie de rapport λ avec |λ| < 1.
Plus généralement, l'inégalité des accroissements finis permet de montrer qu'une fonction dérivable de dérivée bornée en norme par k < 1 est contractante ; c'est par exemple le cas sur R de l'application x ↦ ↦ ( x + sin x ) / 3 {\displaystyle x\mapsto (x+\sin x)/3} , avec k = 2/3.
Théorème du point fixe pour une application contractante
Théorème — Soient E un espace métrique complet (non vide) et f une application k-contractante de E dans E. Alors, f possède un unique point fixe x*. De plus, toute suite récurrente définie par x 0 ∈ ∈ E {\displaystyle x_{0}\in E} et x n + 1 = f ( x n ) {\displaystyle x_{n+1}=f(x_{n})} converge vers x* et vérifie la majoration :
d
(
x
n
,
x
∗
∗
)
≤
≤
k
n
1
−
−
k
d
(
x
0
,
x
1
)
.
{\displaystyle d(x_{n},x^{*})\leq {\frac {k^{n}}{1-k}}\ d(x_{0},x_{1}).}
La preuve classiquecite-ref-b-1-1[1]cite-ref-yw-3-1[3]cite-ref-wikiversit-4-0[4] consiste essentiellement à montrer que pour toute suite vérifiant x n + 1 = f ( x n ) {\displaystyle x_{n+1}=f(x_{n})} , on a d ( x n , x n + p ) ≤ ≤ k n 1 − − k d ( x 0 , x 1 ) {\displaystyle d(x_{n},x_{n+p})\leq {\frac {k^{n}}{1-k}}\ d(x_{0},x_{1})} .
Variante
Inégalité fondamentale des contractions
Pour tout x et y dans E,
d
(
x
,
y
)
≤
≤
d
(
x
,
f
(
x
)
)
+
d
(
y
,
f
(
y
)
)
1
−
−
k
.
{\displaystyle d(x,y)\leq {\frac {d(x,f(x))+d(y,f(y))}{1-k}}.}
En effet, par inégalité triangulaire, d ( x , y ) ≤ ≤ d ( x , f ( x ) ) + d ( f ( x ) , f ( y ) ) + d ( f ( y ) , y ) ≤ ≤ d ( x , f ( x ) ) + k d ( x , y ) + d ( f ( y ) , y ) . {\displaystyle {\begin{aligned}d(x,y)&\leq d(x,f(x))+d(f(x),f(y))+d(f(y),y)\\&\leq d(x,f(x))+kd(x,y)+d(f(y),y).\end{aligned}}}
Unicité
Immédiate d'après l'inégalité fondamentale.
Existence
L'inégalité fondamentale entraîne aussi d ( x n , x m ) ≤ ≤ d ( x n , x n + 1 ) + d ( x m , x m + 1 ) 1 − − k ≤ ≤ k n + k m 1 − − k d ( x 0 , x 1 ) . {\displaystyle d(x_{n},x_{m})\leq {\frac {d(x_{n},x_{n+1})+d(x_{m},x_{m+1})}{1-k}}\leq {\frac {k^{n}+k^{m}}{1-k}}d(x_{0},x_{1}).} On en déduit, comme dans la « preuve classique », la convergence de la suite et la majoration de l'erreur, et la fin de la preuve d'existence est identique.
Ce théorème est souvent mentionné comme le théorème du point fixe de Banach — qui l'a énoncé en 1920 dans le cadre de la résolution d'équations intégralescite-ref-6[6] — ou théorème du point fixe de Picardcite-ref-b-1-2[1].
Corollaire pour une application dont une itérée est contractante
Le corollaire suivant est utilisé dans certaines preuves du théorème de Cauchy-Lipschitzcite-ref-7[7], ce qui dispense des précautions de la preuve usuellecite-ref-8[8], destinées à se placer dans une situation où l'application f est contractante.
Corollairecite-ref-9[9]cite-ref-10[10]cite-ref-11[11]cite-ref-12[12]cite-ref-13[13] — Soient E un espace métrique complet (non vide) et f une application (non nécessairement continue) de E dans E dont une itérée f q est contractante (on dit que f est à puissance q-ième contractante). Alors f possède un unique point fixe x* et toute suite d'éléments de E vérifiant la récurrence xn+1 = f(xn) converge vers x*.
Remarque
Comme dans le théorème, la convergence de la suite est au moins géométrique (de raison k1/q si f q est k-contractante).
Approximations successives
Ces résultats donnent un algorithme de calcul du point fixe (c'est la « méthode des approximations successivescite-ref-14[14] ») contrairement à d'autres théorèmes de point fixe qui nous assurent seulement de l'existence de points fixes sans indiquer comment les déterminer. De plus, l'énoncé donne un majorant de l'erreur.
On peut remarquer que dans le théorème principal, si l'on note kn la constante de Lipschitz de f n, on a majoré kn par kn. Cette majoration est souvent très mauvaise[réf. nécessaire], ce qui explique que la majoration précédente de d(xn, x*) soit souvent pessimiste. En faisant sur f une hypothèse un peu plus forte que celle du corollaire ci-dessus, mais pas autant que celle du théorème, on peut aboutir à de meilleures majorations (par exemple dans le cas de la résolution des équations différentielles) : si, pour tout entier n, l'application f n est kn-lipschitzienne et si la série de terme général kn est convergente — ce qui permet d'appliquer le corollaire puisque kq < 1 pour q assez grand — alors, en notant comme précédemment x* le point fixe de f et xn = f n(x0) (pour un point arbitraire x0 de E),
∀
∀
n
∈
∈
N
d
(
x
n
,
x
∗
∗
)
≤
≤
(
∑
∑
i
=
n
∞
∞
k
i
)
d
(
x
0
,
x
1
)
.
{\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \quad d(x_{n},x^{*})\leq \left(\sum _{i=n}^{\infty }k_{i}\right)d(x_{0},x_{1}).}
Démonstration
Par les mêmes arguments qu'au début de la « preuve classiquecite-ref-wikiversit-4-1[4] », ∀ ∀ n ∈ ∈ N ∀ ∀ p ∈ ∈ N ∗ ∗ d ( x n , x n + p ) ≤ ≤ d ( x n , x n + 1 ) + d ( x n + 1 , x n + 2 ) + … … + d ( x n + p − − 1 , x n + p ) ≤ ≤ ( k n + k n + 1 + … … + k n + p − − 1 ) d ( x 0 , x 1 ) , {\displaystyle {\begin{aligned}\forall n\in \mathbb {N} \quad \forall p\in \mathbb {N} ^{*}\quad d(x_{n},x_{n+p})&\leq d(x_{n},x_{n+1})+d(x_{n+1},x_{n+2})+\ldots +d(x_{n+p-1},x_{n+p})\\&\leq (k_{n}+k_{n+1}+\ldots +k_{n+p-1})\ d(x_{0},x_{1}),\end{aligned}}} d'où la majoration annoncée, par passage à la limite quand p tend vers l'infini.
Applications classiques
• Résolution d'équations numériques, voir notamment méthode de Newton
• Résolution approchée de systèmes linéaires par itération
• Résolution d'équations différentielles : théorème de Cauchy-Lipschitz
• Application à la définition de l'attracteur d'un système de fonctions itérées
Notes et références
cite-note-b-11. bourguignon2008jean-pierre-bourguignon2008Jean-Pierre Bourguignon, Calcul variationnel, Palaiseau, Éditions de l'École Polytechnique, 2008, 328 p. (ISBN 978-2-7302-1415-5, BNF 41120749, présentation en ligne), p. 7 et 27-28.
cite-note-22. ↑ demaillyjean-pierre-demaillyJean-Pierre Demailly, Analyse numérique et équations différentielles [détail des éditions], p. 93, aperçu sur Google Livres.
cite-note-wikiversit-44. Une démonstration détaillée figure dans les propriétés d'un espace complet sur Wikiversité.
cite-note-51. richard-s-palais2007(en) Richard S. Palais, « A simple proof of the Banach contraction principle », Journal of Fixed Point Theory and Applications, vol. 2, 2007, p. 221-223 (lire en ligne).
cite-note-66. ↑ banach1922s-banach1922S. Banach, « Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations intégrales », Fund. Math., vol. 3, 1922, p. 133-181 (lire en ligne), reproduit dans Travaux de Stefan Banach, p. 305-348 (thèse présentée en juin 1920 à l'université de Lviv), chap. II, § 2, Théorème 6.
cite-note-77. ↑ ciarlet2013philippe-g-ciarlet2013(en) Philippe G. Ciarlet, Linear and Nonlinear Functional Analysis with Applications, SIAM, 2013 (lire en ligne), p. 157.
cite-note-88. ↑ kolmogorovfomin1999a-n-kolmogorovs-v-fomin1999(en) A. N. Kolmogorov et S. V. Fomin (trad. Leo F. Boron), Elements of the Theory of Functions and Functional Analysis, vol. 1, Dover Publications, 1999 (1re éd. 1957) (lire en ligne), p. 46-49 (trad. de l'éd. en russe de 1954).
cite-note-99. ↑ Pour une démonstration, voir par exemple cet exercice corrigé sur Wikiversité.
cite-note-1010. ↑ ramisdeschampsodoux1976e-ramisc-deschampsj-odoux1976E. Ramis, C. Deschamps et J. Odoux, Cours de mathématiques spéciales, vol. 3 : Topologie et éléments d'analyse, Masson, 1976, p. 64, Théorème.
cite-note-1111. ↑ Ciarlet 2013, p. 154, Problem 3.7-2.
cite-note-1313. ↑ Kolmogorov et Fomin 1999, p. 50-51, donnent ce théorème et l'appliquent à l'équation intégrale de Volterra. Voir aussi la version très librement remaniée de leur ouvrage : silverman2012r-a-silverman2012(en) R. A. Silverman, Introductory Real Analysis, Dover, 2012 (1re éd. 1970) (lire en ligne), p. 70 et 75-76.
cite-note-1414. ↑ Kolmogorov et Fomin 1999, p. 43.
Articles connexes
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